SISTEM BILANGAN
ada 4 :
1. Bilangan Desimal berbasis 10 (0-9)
2. Bilangan Binary berbasis 2 (0 dan 1)
3. Bilangan Oktal berbasis 8 (0-7)
4. Bilangan Hexadesimal berbasis 16
(0-9,A,B,C,D,E,F)
Desimal
- Digit angka dari 0 sampai 9
- Bentuk nilai suatu bilangan desimal ada 2:
1.Integer desimal ( bilangan bulat )
8598 8 x 103 = 8000
5 x 102 = 500
9 x 101 = 90
8 x 100 = 8
--------- +
8598
Absolute Value : nilai mutlak dari masing-masing
digit bilangan
Position Value : penimbang / bobot dari masing-masing
digit tergantung dari letak posisinya.
2. Decimal Fraction ( pecahan desimal ) :
nilai desimal yang mengandung nilai pecahan dibelakang koma.
Contoh : 183,75
1 x 102 = 100
8 x 101 = 80
3 x 100 = 3
7 x 10-1 = 0,7
5 x 10-2 = 0,05
183,75
KONVERSI SISTEM BILANGAN
I. Konversi dari Sistem Bilangan Desimal
A. Konversi Ke Sistem Bilangan Binari
Metode I :
Dengan membagi dengan 2 dan sisa pembagian merupakan digit binari dari bilangan binari hasil konversi
Contoh :
23 : 2 = 11 sisa 1
11 : 2 = 5 sisa 1
5 : 2 = 2 sisa 0
2 : 2 = 1 sisa 0
Metode II :
Menjumlahkan bilangan-bilangan pangkat dua yang jumlahnya sama dengan bilangan desimal yang akan dikonversikan.
Contoh :
Bilangan desimal 45 dikonversi ke bilangan binar
20 = 1
22 = 4
23 = 8
25 = 32
----+ ------------+
45 101101
B. Konversi ke Bilangan Oktal
Untuk mengkonversi bilangan desimal ke bilangan oktal digunakan remainder method dengan pembaginya adalah basis dari bilagan Oktal yaitu 8
Contoh
385 : 8 = 48 sisa 1
48 : 8 = 6 sisa 0
C. Konversi ke Bilangan Hexadesimal
Dengan menggunakan remainder method dibagi dengan basis bilangan hexadesimal yaitu 16
Contoh
1583 : 16 = 98 sisa 15 = F
98 : 16 = 6 sisa 2
6 2 F
II. Konversi dari Sistem Bilangan Binari
A. Konversi ke sistem bilangan desimal
Dari bilangan binari bisa dikonversikan ke bilangan desimal dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan position value-nya.
Contoh :
1011012 = 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 20 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20
= 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1
= 4510
B. Konversi ke sistem bilangan oktal
Konversi dari bilangan binary ke oktal bisa dilakukan dengan mengkonversi tiap tiga buat digit binari
Contoh :1101101 dapat dikonversi ke oktal dengan cara :
1 101 101
C. Konversi ke sistem bilangan hexadesimal
Konversi dari bilangan binary ke hexadesimal bisa dilakukan dengan mengkonversi tiap empat buat digit binari
Contoh : 1101101 dapat dikonversi ke hexadecimal dengan
110 1101
6 D
III. Konversi dari Sistem Bilangan Oktal
A. Konversi ke sistem bilangan desimal
Dari bilangan binari bisa dikonversikan ke bilangan desimal dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan position value-nya.
Contoh :
3248 = 3 x 82 + 2 x 81 + 4 x 80
= 3 x 64 + 2 x 8 + 4 x 1
= 192 + 16 + 4
= 212 10
B. Konversi ke sistem bilangan biner
Konversi dari bilangan Oktal ke Binari bisa dilakukan dengan mengkonversi masing-masing digit oktal ke 3 digit binari.
Contoh :
5 6 7 dapat dikonversi ke binari dengan cara :
101 110 111
C. Konversi ke bilangan hexadesimal
Konversi dari bilangan oktal ke hexadesimal bisa dilakukan dengan cara berubah dari bilangan oktal menjadi bilangan binari dulu, baru dikonversi
ke bilangan hexadesimal
Contoh :
5 6 7 dikonversi dulu ke binari :
101 110 111
dari bilangan binari baru dikonversi ke hexadesimal
1 0111 0111
1 7 7
IV. Konversi dari Sistem Bilangan
A. Hexadesimal Konversi ke sistem bilangan desimal
Dari bilangan binari bisa dikonversikan ke bilangan desimal dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan position value-nya.
Contoh :
B6A16 = 11 x 162 + 6 x 161 + 10 x 160
= 11 x 256 + 6 x 16 + 10 x 1
= 2816 + 96 + 10
= 292210
B. Konversi ke sistem bilangan binari
Konversi dari bilangan hexadesimal ke Binari bisa dilakukan
dengan mengkonversi masing-masing digit hexadesimal ke 4
digit binari.
Contoh :
D 6 dapat dikonversi ke binari dengan cara :
1101 0110
C. Konversi desimal menjadi heksa
Desimal ke heksadesimal
Sekarang tiba waktunya untuk mengajarkan proses konversi desimal ke heksadesimal…
Seperti biasa, langsung saja ke contoh. Hehe…
Misalkan bilangan desimal yang ingin saya ubah adalah 24310. Untuk menghitung proses konversinya, caranya sama saja dengan proses konversi desimal ke biner, hanya saja kali ini angka pembaginya adalah 16. Maka :
243 : 16 = 15 sisa 3.
15 : 16 = 0 sisa F. —-> ingat, 15 diganti jadi F..
0 : 16 = 0 sisa 0….(end)
Nah, maka hasil konversinya adalah F316.
SISTIM CODING
1. KodeBCD (binaryCodedDecimal)
Merepresentasikan masing-masing 10 digit desimal menjadi kode 4 digit biner.
Kodeini digunakan untuk meng-outputkan hasil digital ke peralatan yang men-displaykan bilangan numerik (0-9),
seperti: jam digital, voltmeter digital
Ada 5 jenis kodeBCD :
1.Kode8421 Kode dengan faktor pembobot
2.Kode5421
3.Kode2421
4.KodeExcess-3 Bukan kode pembobot
5.Kode2 of 5
Kode pembobot direpresentasikan sebagai:
d10 = 8xa3+ 4xa2+ 2xa1+ 1xa0
nilai desimal Nilai bobot (tergantung jenis kode pembobot)
Contoh:
1) 710= ….BCD (8421) ?
710= 8x0 + 4x1 + 2x1 + 1x1 ��710= 0111BCD(8421)
2) 1810= ….BCD (5421) ?
1810= 5x0 + 4x0 + 2x0 + 1x1 5x1 + 4x0 + 2x1 + 1x1
= 0001 1011BCD(5421)
3) 4810= ….BCD (2421) ?
4810= 2x0 + 4x1 + 2x0 + 1x0 2x1 + 4x1 + 2x1 + 1x0
= 0100 1110BCD(2421)
Dari ke-tiga jenis kode BCD dengan bobot, yang paling banyak digunakan adalah kode 8421
KodeExcess-3
Kode ini memiliki kelebihan nilai 3 dari digit asalnya.
Contoh:
010 disimpan sebagai (0+3) = 0011 Excess-3
Nilai tertinggi untuk BCD Excess-3 adalah (9+3) = 1100 Excess-3
Kode2 of 5
Kode ini memiliki 2 nilai bit “1”dari5 bit yang tersedia.
Penempatan bit “1” dimulai dari MSB, sedang bit “1”
Untuk digit berikutnya mengikuti posisi disebelahnya.
Contoh:
210 disimpan sebagai 100102
Ringkasan Kode BCD
Digit desimal Kode 8421 Kode 5421 Kode 2421 Kode Excess-3 Kode 2 of 5
0 0000 0000 0000 0011 11000
1 0001 0001 0001 0100 10100
2 0010 0010 0010 0101 10010
3 0011 0011 0011 0110 10001
4 0100 0100 0100 0111 01100
5 0101 1000 1011 1000 01010
6 0110 1001 1100 1001 01001
7 0111 1010 1101 1010 00110
8 1000 1011 1110 1011 00101
9 1001 1100 1111 1100 00011
tidak 1010 0101 0101 0000 sembarang
digunakan 1011 0110 0110 0001 pola
1100 0111 0111 0010 yg lain
1101 1101 1000 1101
1110 1110 1001 1110
1111 1111 1010 1111
2. Kode ASCII (American Standard Code for Information Interchange)
Merepresentasikan nilai alphanumeric (huruf, bilangandan simbol)
Menjadi nilai-nilai biner
Nilai-nilai ini akan dibaca dan diproses oleh peralatan digital
(misal: komputer, microprocessor) dalambentukbiner
ASCII Code terdiridari 7 bit biner 27= 128 kombinasi kode
7 bit 3 bit MSB dan 4 bit LSB
Contoh:
100 0111 = G
Grup 3 bit Grup 4 bit
(MSB) (LSB)
Tabel ASCII
LSB \ MSB 000 001 010 011 100 101 110 111
0000 NUL DLE SP 0 @ P ` p
0001 SOH DC1 ! 1 A q a q
0010 STX DC2 " 2 B R b r
0011 ETX DC3 # 3 C S c s
0100 EOT DC4 $ 4 D T d t
0101 ENQ NAK % 5 E u e u
0110 ACK SYN & 6 F V f v
0111 BEL ETB ' 7 G W g w
1000 BS CAN ( 8 H X h x
1001 HT EM ) 9 I y i y
1010 LF SUB * : J Z j z
1011 VT ESC + ; K [ k {
1100 FF FS , < L \ l |
1101 CR GS - = M ] m }
1110 SOH RS . > N ^ n ~
1111 SI US / ? O _ o DEL
Definisi kelas kontrol:
ACK Acknowledge GS Group Separator
BEL Bell HT Horizontal Tag
BS Back space LF Line Feed
CAN Cancel NAK Negative Acknowledge
CR Carriage Return NUL Null
DC1-DC4 Direct Control RS Record Separator
DEL Delete idle SI Shift In
DLE Data Link Escape SO Shift Out
EM End of Medium SOH Start of Heading
ENQ Enquiry STX Start of Text
EOT End of Transmission SUB Substitute
ESC Escape SYN Synchronous Idle
ETB End f Transmission Block US Unit Separator
ETX End Text VT Vertical Tab
FF Form Feed
FS Form Separator
Contoh:
Dengan menggunakan Tabel ASCII, tentukan kode ASCII untuk 65-M
Jawab:
6= 011 0110
5= 011 0101
-= 010 1101
M = 100 1101
3. Gray Code
Digunakan dalam peng-kodean posisi sudut dari peralatan yang bergerak secara berputar, seperti motor stepper, mesin bubut otomatis, gerinda
Kode ini terdiri dari 4 bit biner, dengan 24 menuju 16 kombinasi untuk total putaran 360o.
Masing-masing kode digunakan untuk perbedaan sudut 22,5o
(= 360o/16)
Tabel gray code dan biner
Bilangan Gray Code Biner 4-bit
0 0000 0000
1 0001 0001
2 0011 0010
3 0010 0011
4 0110 0100
5 0111 0101
6 0101 0110
7 0100 0111
8 1100 1000
9 1101 1001
10 1111 1010
11 1110 1011
12 1010 1100
13 1011 1101
14 1001 1110
15 1000 1111
4. Hamming Code
Kode ini dikenalkan oleh Richard Hamming (1950) sebagai kode tunggal pengoreksi kesalahan(single error-correcting code).
Bit penge-cek ditambahkan kedalam bit-bit informasi, jika suatu saat ada perubahan bit-bit data ketika proses transmisi, maka bit-bit informasi asli masih bisa diselamatkan.
Kode ini dikenal pula sebagai parity code
Bit penge-cek tambahan diberikan pada bit-bit informasi sebelum ditransmisikan, sedangkan pada sisi penerima dilakukan penge-cekan dengan algoritma yang sama dengan
pembangkitan bit penge-cek tambahan
Cara pengisian bit tambahan pada bit-bit informasi
x x 1 x 0 1 1a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7Bit data / informasiBit pengisi
Untuk bit data 4-bit, bit-bit data terletak pada posisi 3, 5, 6 dan 7
Bit pengisi terletak pada posisi 1, 2, 4 (2K) menuju K = jumlah bit data - 1
ΣBit pengisi/cek Σ bit informasi
2 1
3 4
4 11
5 26
Jumlah bit informasi =
2n–n–1
(n jumlah bit cek)
Nilai bit pengisi/cek: (untuk informasi 4-bit)
a1= a3+ a5+ a7
a2= a3+ a6+ a7
a4= a5+ a6+ a7
Untuk informasin-bit, nilai bit pengisi/ cek adalah:
a1= 3,5,7,9,11,13,15,...
a2= 3,6,7,10,11,14,15,...
a4= 5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,... Bit-bit masing-masing posisi yang
a8= 9-15,24-31,40-47,... disertakan diEx-OR kan
a16= 17-31,48-63,80-95,...
a32= 33-63,96-127,160-191,...dst.
Tabel Hamming untuk informasi 4-bit
Data/bit a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
0000 0 0 0 0 0 0 0
0001 1 1 0 1 0 0 1
0010 0 1 0 1 0 1 0
0011 1 0 0 0 0 1 1
0100 1 0 0 1 1 0 0
0101 0 1 0 0 1 0 1
0110 1 1 0 0 1 1 0
0111 0 0 0 1 1 1 1
1000 1 1 1 0 0 0 0
1001 0 0 1 1 0 0 1
1010 1 0 1 1 0 1 0
1011 0 1 1 0 1 1 1
1100 0 1 1 1 1 0 0
1101 1 0 1 0 1 0 1
1110 0 0 1 0 1 1 0
1111 1 1 1 1 1 1 1
Contoh: Bagaimana bentuk data yang ditransmisikan dengan kode Hamming, jika diketahu bit data = 1010 ?
Jawab:
a1 = a3 + a5 + a7 a1 = 1 + 0 + 0 = 1
a2 = a3 + a6 + a7 a2 = 1 + 1 + 0 = 0
a4 = a5 + a6 + a7 a3 = 0 + 1 + 0 = 1
Sehingga bentuk data yang ditransmisikan menjadi: 1011010
Cara penge-cekan disisiterima: (untukinformasi4-bit)
e1= a1+ a3+ a5+ a7
e2= a2+ a3+ a6+ a7
e3= a4+ a5+ a6+ a7
Jika nilai e = 0, maka seluruh data yang diterima adalah benar
Untuk informasi n-bit, cara penge-cekan adalah:
1.Tanda semua posisi bit yang merupakan pangkat dua
Sebagai bit penge-cek (posisi1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...) .
2.Posisi yang lain digunakan sebagai bit data yang akan
dikodekan(posisi3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, ...)
3.Masing-masing bit pengecek menghitung bit setiap posisi
dengan cara menge-cek dan melewati, sebagai berikut:
Posisi1 : cek 1 bit, lewat 1 bit, cek 1 bit, lewat 1 bit dsb
(1,3,5,7,9,11, 13, 15…)
Posisi2 : cek 2 bit, lewat 2 bit, cek 2 bit, lewat 2 bit dsb
(2,3,6,7,10,11, 14, 15,…)
Posisi4 : cek 4 bit, lewat 4 bit, cek 4 bit, lewat 4 bit dsb
(4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23, …)
Posisi8: cek 8 bit, lewat 8 bit, cek 8 bit, lewat 8 bit dsb
(8-15,24-31,40-47,...)
Posisi32: cek 32 bit, lewat 32 bit, cek 32 bit, lewat 32 bit, dsb.
(32-63,96-127,160-191,...)
Beri nilai bit penge-cek= 1 jika total bit “1”diposisi yang dicek adalah ganjil (Odd)
dan beri nilai 0 jikatotal bit “1”adalah genap (Even)
Contoh:
Sebuah urutan data diterima: 0010011
Dengan : e1 = 0 e2 = 1 e4 = 0
Tentukan bit diposisi mana yang salah? Berapa nilai
data asli (sebelum ditambah bit penge-cek) ?
Jawab:
e1 = a1 + a3 + a5 + a7 = 0 + 1 + 0 + 1 = 0 benar
e2 = a2 + a3 + a6 + a7 = 0 + 1 + 1 + 1 = 1 salah
e3 = a4 + a5 + a6 + a7 = 0 + 0 + 1 + 1 = 0 benar
a1 = a3 + a5 + a7 = 1 + 0 + 1 = 0 sama dengan yang dikirim
a2 = a3 + a6 + a7 = 1 + 1 + 1 = 1 tidak sama dengan yang dikirim
a3 = a5 + a6 + a7 = 0 + 1 + 1 = 0 sama dengan yang dikirim
Berarti bit diposisi 2 yang salah, seharusnya yang diterima
adalah: 0110011
Nilai data asli = a3a5a6a7 = 1011
FUNGSI-FUNGSI ARITMETIKA BINER
1. PENJUMLAHAN
-Penjumlahan dasar (pada kolom LSB)
{A0+ B0= Σ0+ Cout}
0 + 0 = 0 carry 0
0 + 1 = 1 carry 0
1 + 0 = 1 carry 0
1 + 1 = 0 carry 1
Tabel Kebenaran untuk penjumlahan 2 bit biner (LSB)
A0 B0 Σ0 Cout
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
-Penjumlahan lanjut (selain kolom LSB)
{Ai+ Bi+ Cin= Σi+ Cout i = 2,3,4,..}
Cin Cin
A1 A0
+ B1 B0
Σn Σ1 Σ0
+ +
Cout Cout
Tabel Kebenaran untuk Penjumlahan 2 bit biner(lanjut)
A1 B1 Cin Σ1 Cout
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
Contoh:
1. 5 0101
+ 4 + 0100
9 1001 = 910
2. 18 10010
+ 2 + 00010
20 10100 = 2010
3. 147 10010011
+ 75 + 01001011
222 11011110 = 22210
2. PENGURANGAN
-Pengurangan dasar (pada kolom LSB)
{A0-B0= R0+ Bout}
0 -0 = 0 borrow 0
0 -1 = 1 borrow 1
1 -0 = 1 borrow 0
1 -1 = 0 borrow 0
Tabel Kebenaran untuk
Pengurangan 2 bit biner(LSB)
A0 B0 R0 Bout
0 0 0 0
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 0
-Penguranganlanjut(selainkolomLSB)
{Ai – Bi – Bin = Ri + Bout i = 2,3,4,..}
Bin Bin
A1 A0
- B1 B0
Rn R1 R0
+ +
Bout Bout
Tabel Kebenaran untuk Pengurangann 2 bit biner (lanjut)
A1 B1 Bin R1 Bout
0 0 0 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 1 0 0 0
1 1 1 1 1
Contoh:
1. 9 1001
- 4 + 0100
5 0101 = 510
2. 18 10010
- 12 - 01100
6 00110 = 610
3. 147 10010011
- 75 + 01001011
72 10001000 = 7210
3. PERKALIAN
ü Perkalian biner pada dasarnya sama dengan perkalian desimal, nilai yang dihasilkan hanya“0”dan“1”
ü Bergeser satu kekanan setiap dikalikan 1 bit pengali
ü Setelah proses perkalian masing-masing bit pengali selesai, lakukan penjumlahan masing-masing kolom bit hasil
Desimal Biner
13 1101 yang dikalikan
x 11 x 1011 pengali
13 1101
13 1101
143 0000
1101
1000111 = 14310 hasil kali
4. PEMBAGIAN
ü Pembagian biner pada dasarnya sama dengan pembagian desimal, nilai yang dihasilkanhanya “0”dan“1”
ü Bit-bit yang dibagidiambilbit per bit dari sebelah kiri. Apabila nilainya lebih dari bit pembagi, maka bagilah bit-bit tersebut, tetapi jika setelah bergeser 1 bit nilainya masih dibawah nilai pembagi, maka hasil bagi= 0.
Desimal Biner
3 11 = 310 hasilbagi
3 / 9 011 / 1001 yang dibagi
- 9 pembagi - 011
0 0011
- 011
0
FUNGSI ARITMETIKA untuksistimbilanganlain
PENJUMLAHAN
OCTAL
Contoh:
73
+ 15
110
BCD
Contoh:
47 0100 0111
+ 15 0001 0101
62 0101 1100
0110
0110 0010
6 2
HEXADECIMAL
Contoh:
1D3
+ 39
20C
2. PENGURANGAN
OCTAL
Contoh:
62
- 34
26
HEXADECIMAL
Contoh:
1D3
- 9F
134
BCD
Contoh:
56 0101 0110
- 34 0011 0100
22 0010 0010
2 2
3. PERKALIAN
OCTAL HEXADECIMAL
Contoh: Contoh:
14 1E2
x 13 x 25
44 96A
14 3C4
204 45AA
4. PEMBAGIAN
OCTAL
Contoh:
62
5/372
- 36
12
- 12
0
HEXADECIMAL
Contoh:
64
F/ 5DC
- 5A
3C
- 3C
0
